目錄
- 一、算法概述
- 二、算法步驟
- 三、相關(guān)概念
- 四、算法優(yōu)缺點
- 五、算法實現(xiàn)
- 六、算法優(yōu)化
一、算法概述
- 主成分分析 （Principal ComponentAnalysis，PCA）是一種掌握事物主要矛盾的統(tǒng)計分析方法，它可以從多元事物中解析出主要影響因素，揭示事物的本質(zhì)，簡化復(fù)雜的問題。
- PCA 是最常用的一種降維方法，它的目標(biāo)是通過某種線性投影，將高維的數(shù)據(jù)映射到低維的空間中，并期望在所投影的維度上數(shù)據(jù)的方差最大，以此使用較少的維度，同時保留較多原數(shù)據(jù)的維度。
- PCA 算法目標(biāo)是求出樣本數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量，而協(xié)方差矩陣的特征向量的方向就是PCA需要投影的方向。使樣本數(shù)據(jù)向低維投影后，能盡可能表征原始的數(shù)據(jù)。
- PCA 可以把具有相關(guān)性的高維變量合成為線性無關(guān)的低維變量，稱為主成分。主成分能夠盡可能的保留原始數(shù)據(jù)的信息。
- PCA 通常用于高維數(shù)據(jù)集的探索與可視化，還可以用作數(shù)據(jù)壓縮和預(yù)處理等。
二、算法步驟
1.將原始數(shù)據(jù)按行組成m行n列的矩陣X
2.將X的每一列（代表一個屬性字段）進行零均值化，即減去這一列的均值
3.求出協(xié)方差矩陣
4.求出協(xié)方差矩陣的特征值及對應(yīng)的特征向量r
5.將特征向量按對應(yīng)特征值大小從左到右按列排列成矩陣，取前k列組成矩陣P
6.計算降維到k維的數(shù)據(jù)
三、相關(guān)概念
協(xié)方差：描述兩個數(shù)據(jù)的相關(guān)性，接近1就是正相關(guān)，接近-1就是負(fù)相關(guān)，接近0就是不相關(guān)
協(xié)方差矩陣：協(xié)方差矩陣是一個對稱的矩陣，而且對角線是各個維度的方差
特征值：用于選取降維的K個特征值特征向量：用于選取降維的K個特征向量
四、算法優(yōu)缺點
優(yōu)點
- 僅僅需要以方差衡量信息量，不受數(shù)據(jù)集以外的因素影響。
- 各主成分之間正交，可消除原始數(shù)據(jù)成分間的相互影響的因素。
- 計算方法簡單，主要運算是特征值分解，易于實現(xiàn)。
缺點
- 主成分各個特征維度的含義具有一定的模糊性，不如原始樣本特征的解釋性強。
- 方差小的非主成分也可能含有對樣本差異的重要信息，降維丟棄的數(shù)據(jù)可能對后續(xù)數(shù)據(jù)處理有影響。
五、算法實現(xiàn)
自定義實現(xiàn)
import numpy as np
# 對初始數(shù)據(jù)進行零均值化處理
def zeroMean(dataMat):
# 求列均值
meanVal = np.mean(dataMat, axis=0)
# 求列差值
newData = dataMat - meanVal
return newData, meanVal
# 對初始數(shù)據(jù)進行降維處理
def pca(dataMat, percent=0.19):
newData, meanVal = zeroMean(dataMat)
# 求協(xié)方差矩陣
covMat = np.cov(newData, rowvar=0)
# 求特征值和特征向量
eigVals, eigVects = np.linalg.eig(np.mat(covMat))
# 抽取前n個特征向量
n = percentage2n(eigVals, percent)
print("數(shù)據(jù)降低到：" + str(n) + '維')
# 將特征值按從小到大排序
eigValIndice = np.argsort(eigVals)
# 取最大的n個特征值的下標(biāo)
n_eigValIndice = eigValIndice[-1:-(n + 1):-1]
# 取最大的n個特征值的特征向量
n_eigVect = eigVects[:, n_eigValIndice]
# 取得降低到n維的數(shù)據(jù)
lowDataMat = newData * n_eigVect
reconMat = (lowDataMat * n_eigVect.T) + meanVal
return reconMat, lowDataMat, n
# 通過方差百分比確定抽取的特征向量的個數(shù)
def percentage2n(eigVals, percentage):
# 按降序排序
sortArray = np.sort(eigVals)[-1::-1]
# 求和
arraySum = sum(sortArray)
tempSum = 0
num = 0
for i in sortArray:
tempSum += i
num += 1
if tempSum >= arraySum * percentage:
return num
if __name__ == '__main__':
# 初始化原始數(shù)據(jù)(行代表樣本,列代表維度)
data = np.random.randint(1, 20, size=(6, 8))
print(data)
# 對數(shù)據(jù)降維處理
fin = pca(data, 0.9)
mat = fin[1]
print(mat)
利用Sklearn庫實現(xiàn)
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.datasets import load_iris
# 加載數(shù)據(jù)
data = load_iris()
x = data.data
y = data.target
# 設(shè)置數(shù)據(jù)集要降低的維度
pca = PCA(n_components=2)
# 進行數(shù)據(jù)降維
reduced_x = pca.fit_transform(x)
red_x, red_y = [], []
green_x, green_y = [], []
blue_x, blue_y = [], []
# 對數(shù)據(jù)集進行分類
for i in range(len(reduced_x)):
if y[i] == 0:
red_x.append(reduced_x[i][0])
red_y.append(reduced_x[i][1])
elif y[i] == 1:
green_x.append(reduced_x[i][0])
green_y.append(reduced_x[i][1])
else:
blue_x.append(reduced_x[i][0])
blue_y.append(reduced_x[i][1])
plt.scatter(red_x, red_y, c='r', marker='x')
plt.scatter(green_x, green_y, c='g', marker='D')
plt.scatter(blue_x, blue_y, c='b', marker='.')
plt.show()
六、算法優(yōu)化
PCA是一種線性特征提取算法，通過計算將一組特征按重要性從小到大重新排列得到一組互不相關(guān)的新特征，但該算法在構(gòu)造子集的過程中采用等權(quán)重的方式，忽略了不同屬性對分類的貢獻(xiàn)是不同的。
KPCA是一種改進的PCA非線性降維算法，它利用核函數(shù)的思想，把樣本數(shù)據(jù)進行非線性變換，然后在變換空間進行PCA，這樣就實現(xiàn)了非線性PCA。
局部PCA是一種改進的PCA局部降維算法，它在尋找主成分時加入一項具有局部光滑性的正則項，從而使主成分保留更多的局部性信息。
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